СЛУЧАЙНОСТЬ И НЕОБХОДИМОСТЬ. ИГРА В КОСТИ
Игральные кости – это символ вероятности и случайности
И сказали друг другу: пойдем, бросим жребии, чтобы узнать, за кого постигает нас эта беда. И бросили жребии, и пал жребий на Иону.
Кости – самый древний из известных человеку игровых атрибутов. В наши дни кости могут иметь самые разные симметричные формы, но наиболее привычный вариант, который закрепился на Западе в XIX веке, – это кубики, то есть шестигранники. На противоположных гранях расположены 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 таким образом, сумма значений противоположных сторон всегда равна 7.
Западные и восточные игральные кости
Однако такой порядок не означает, что кости можно изготовить лишь единственным способом. Вы, уважаемый читатель, скорее всего, живете на Западе, и ваши кости, вероятно, будут правовращающими. Это означает, что если положить кость так, чтобы вверху оказалась грань с единицей, а слева – грань с двойкой, то грань с тройкой окажется справа. Но если бы вы имели дело с китайскими игральными костями, то ситуация была бы зеркальной (такие кости называются левовращающими). То есть если единица находится сверху, то тройка расположена слева, а двойка – справа. Еще раз повторимся – западные и восточные игральные кости являются зеркальным отражением друг друга.
Куб – не единственное симметричное тело, которое можно использовать для игры. Простейшей двусторонней игральной фишкой можно считать монету. Грани любых Платоновых тел также подходят для игры в кости (но вероятность падения на конкретную грань для каждого из тел отличается). Куб, в отличие от других Платоновых тел, обладает замечательным свойством: верхняя грань, на которой выпадают очки, расположена прямо напротив той грани, на которую падает куб. Если бы мы играли в кости тетраэдром, то нам приходилось бы считать очки на той грани, которая лежит на столе и кость нужно было бы специально поднимать.
Форма куба
Самое важное свойство игральной кости заключается в том, что она должна быть честной. Для этого кость должна иметь форму, максимально близкую к идеальному кубу. Это важно, так как результаты падения кости с довольно неправильной формой оказываются удивительно нечестными. Наиболее вероятно, что кость упадет на ту грань, которая имеет максимальную площадь. В наши дни машинное производство и пластмассовое литье позволяют достичь высокой точности в изготовлении костей (как правило, до 1/5000 доли дюйма), а производители игральных костей для казино учитывают даже те мельчайшие отклонения, которые возникают на каждой грани из-за разного количества точек, которые наносятся или вырезаются на ней. Для точек высверливаются отверстия, которые заполняются окрашенным материалом такой же плотности, пока он полностью не сравняется с поверхностью грани. Прозрачный ацетат, применяемый при изготовлении костей для казино, не позволяет встраивать инородные тела во внутреннюю часть кости, что могло бы сместить ее центр тяжести. Дешевые кости, которые продаются в любом ларьке, обычно имеют углубления, отмечающие количество очков, и поэтому та сторона, на которой выбито больше всего точек, оказывается самой легкой. Если попробовать много раз бросать одну и ту же кость, это отклонение становится заметным.
Они, как и раньше, используются во многих играх, связанных с выпадением вариантов, и не сходят со страниц математических книг, посвященных теории вероятности и статистике.
Но за самой обычной игральной костью кроется интереснейший вопрос: почему математическое изучение вероятности началось так недавно?
Другие известные области математики, которые изучаются в школе, – арифметика, алгебра, геометрия – восходят к истокам интеллектуальной деятельности человека. Все великие человеческие цивилизации пользовались числами, разрабатывая системы ведения счетов, изучая геометрию, которая применялась при возведении зданий и составлении карт звездного неба. Но во всех этих цивилизациях совершенно отсутствует изучение вероятности. Ни Евклид, ни Платон, ни Аристотель, ни Архимед ничего не сказали о математической природе случайности. Пришлось ждать до 1660 года, когда за изучение этой проблемы взялись Блез Паскаль и Христиан Гюйгенс. Все это не может не удивлять, поскольку азартные игры, бесспорно, существовали в древних цивилизациях.
С ходу можно предложить два объяснения этого парадокса. Первое из них связано с религией. В античном мире, по-видимому, события не воспринимались как случайные, хотя, разумеется, обычный человек не мог их предсказать. Случайное приравнивалось к иррациональному. Цивилизации, признававшие богов (или единого Бога), зачастую считали случайность тем инструментом, с помощью которого божество дает о себе знать. У израильских первосвященников были два плоских предмета, которые они извлекали из складок одежды, когда требовался ответ Бога на нерешенный вопрос (две «головы» означали «да», два «хвоста» – «нет», а «голова» и «хвост» – «подожди»). Недавно я столкнулся с подобным ритуалом, когда посетил буддийский храм в старинном тайваньском городе Тайней. Человек, которому было слегка за 30, опустился на колени у храмового алтаря, бросил на землю две деревянные фигурки и при этом молился вслух. Потом он продолжил ритуал, вытянув две длинные палочки, к каждой из которых была прикреплена записка на китайском языке. Я поинтересовался у моих спутников, что он делает, и узнал, что человек просит храмовое божество о помощи, возможно, молит ниспослать богатство или спасти жизнь родственника, страдающего от тяжелой болезни. Однако для этого человек должен пообещать сделать что-то взамен. Он предлагает, а затем бросает жребий, чтобы узнать, принято ли его предложение. Если на обеих костях выпадает одно и то же число, значит получено согласие, если нет – то это отказ. Если ответ его не устраивает, он может взять другую палочку, листок бумаги на которой подскажет, как изменить сделанное предложение, чтобы повысить шансы на утвердительный ответ при следующем броске. Было удивительно наблюдать, что люди по-прежнему верят в существование связи между вероятностью и божественной волей. Важность этой веры в истории изучения вероятности огромна. Считая, что случайность зависит от воли богов, люди не решались даже рассуждать на эту тему. Вероятно, в большинстве случаев такие исследования казались богохульным вмешательством в божественный промысел и грозили привести к смерти.
Второе возможное объяснение позднего появления теории вероятности в анналах математики (эти объяснения ни в коем случае не исключают друг друга) заключается в том, что людям недоставало важнейшей идеи о равновероятности всех вариантов. Сегодня шестигранные игральные кости делаются очень тщательно. Их углы прямые, грани имеют одинаковые размеры. Центр тяжести находится в геометрическом центре куба. Простейшим следствием такой симметричности является тот факт, что кость с равной вероятностью может упасть на любую из граней, если бросать ее честно. Древние кости не были столь совершенны. Все они были разными и крайне асимметричными. Обычно они изготавливались из кусков бабок (надкопытных костей) или таранных костей домашнего скота, например овец. В некоторых странах и сегодня сохранились азартные игры на основе катания настоящих костей животных. В арабском языке (как и в русском) этот игровой атрибут так и называется – кость. Значительный недостаток бабок заключается в том, что такие кости очень неодинаковы, и профессиональный азартный игрок с рыночной площади лишь на опыте мог научиться тому, какие фокусы могут выкидывать его кости. Никакая теория вероятности не принесла бы вам особенной пользы при игре в бабки, так как она не применима к броскам костей неправильной формы. Только в случае, когда все игроки используют кости, чьи странности известны (или если у костей нет странностей, потому что они симметричны, и выпадение любого результата равновероятно), нужно и полезно развивать общую теорию «случая».
Беспроигрышные кости
Наконец, кости обладают некоторыми очень странными свойствами. Можно сделать три кости, и какую бы кость вы ни выбрали, я возьму одну из оставшихся и выиграю у вас. Таких беспроигрышных костей может быть много, и грани одного из возможных наборов могут выглядеть так: кость А: 1,1, 4, 4, 4, 4; кость В: 3, 3, 3, 3, 3, 3; кость С: 2, 2, 2, 2, 5, 5.
В долгосрочной перспективе кость А бьет кость В, кость В бьет кость С, но кость С бьет кость Л (в каждом случае вероятность выигрыша составляет 2 к 1). Всем отношениям превосходства и предпочтения свойственна подобная интранзитивность. Она встречается в жизни гораздо чаще, чем может показаться. Скажем, если Джону нравится Джордж, а Джорджу нравится Мэри, это не означает, что Джону нравится Мэри. Только более простые отношения, например соотношение в размерах или росте, обладают транзитивностью: если Джон выше Джорджа, а Джордж выше Мэри, то Джон по определению выше Мэри.
Кости символизируют сферы, в которых царят вероятность и случайность. Они привычны людям во всем мире, но скрывают в себе и перипетии истории, и сложность математики, а также являются носителями глубочайших представлений о природе реальности. Именно они – та вещь, замена которой вряд ли сыщется в электронную эру в киберпространстве.