ТРИГОНОМЕТРИЯ. СИНУСЫ И КОСИНУСЫ

Пока в школах изучаются тригонометрия и алгебра, в них всегда найдется минута для тишины и даже для молитвы.

Сенатор Скотт

Тригонометрия – это современное название древнего искусства. Во всех древних цивилизациях, где люди занимались архитектурой и астрономией, а также географией, геодезией, навигацией, им требовалось точно фиксировать положение отдельных точек, а также углы между различными направлениями. Слово «тригонометрия» звучит очень по-гречески. Действительно, это слово составлено из греческих корней. Но оно не такое древнее, как сам описываемый предмет. Слово «тригонометрия» придумал в 1595 году немецкий математик и астроном Бартоломеус Питискус (1561-1613), дав своей книге название «Тригонометрия, или Краткий трактат о решении треугольников». Второе издание вышло в 1600 году и называлось «Тригонометрия, или Измерение треугольников».

Эта древняя наука с новым названием развивалась вокруг изучения отношений между тремя сторонами и внутренними углами прямоугольных треугольников. Наиболее важные характеристики угла называются синус, косинус и тангенс. Они показаны на иллюстрации, где три стороны прямоугольного треугольника имеют традиционные буквенные обозначения: противолежащий катет (а), прилежащий катет (Ь) и гипотенуза (с).

Определение синуса, косинуса и тангенса угла 0 (в тексте, видимо, опечатка: вместо нуля должна стоять греческая буква тета 9. – Примеч. ред.) выражается в соответствующих отношениях трех сторон: sinA = а/с, cosA = b/с, tgA = а/b.

В формуле, видимо, ошибка: вместо sin А должно быть sin 6. -Примеч. ред. в X веке персидским математиком Абу-л-Вафой. Косинус, или «дополнительный синус» (лат. complementi-sinus) по латыни, был впервые предложен английским математиком Эдвардом Гантером просто в качестве полезной парной функции для синуса.

После того как математические равенства стали изображаться на графиках (это произошло в конце XVIII века в работе швейцарского математика Иоганна Ламберта), графики синуса и косинуса стали одними из наиболее часто изображаемых в математике. Ниже показан один из первых графиков Ламберта, на котором представлена функция синуса.

Оказалось, что кривые синуса и косинуса имеют особое значение для всех математических кривых. Точно так же, как любое число получается из цифр от 1 до 9, поставленных в нужном порядке, так же, как любой многоугольник состоит из прямых линий, практически любая кривая, которая повторяется с регулярными интервалами, может быть представлена в виде суммы синусов и косинусов с различной длиной волны. Этот новаторский метод был назван аппроксимацией функции периодическими рядами Фурье – по имени французского математика Жозефа Фурье, которому в значительной мере принадлежит заслуга создания данного метода, описанного в его книге «Аналитическая теория тепла»(1822).

Фурье показал, что сумма бесконечного числа различных синусов и косинусов с разными периодами может точно совпадать с заданной периодической функцией. На практике уже небольшое их число дает по-настоящему хорошую аппроксимацию. Анализ Фурье остается важным разделом математики с многочисленными возможностями применения в инженерии, электрических схемах, астрономии, физике и геологических дисциплинах.

Синус и косинус стали самыми употребительными графическими функциями во всей прикладной математике. На то есть очень важная причина. Явления, наблюдаемые в природе, встречаются часто потому, что они устойчивы. Неустойчивые системы, например игла, балансирующая на своем острие, мимолетны и редки. Устойчивые системы обладают удобным свойством, которое заключается в том, что если они немного выходят из равновесия, то вскоре восстанавливают его. Именно по этой причине удается устоять деревьям при не самом сильном ветре. Они качаются, немного изменяя положение относительно точки, в которой находятся, если ветра нет. Есть много других примеров: колебание маятника в часах, скатывание мяча в лунку, качание колыбели, вибрация легких при дыхании. Во всех этих случаях возможно только ограниченное отклонение от положения, в котором система находится в отсутствие внешних воздействий. Эти системы колеблются вперед и назад вокруг положения равновесия, причем размах этих колебаний никогда не превышает конкретной величины, точно так же, как экстремумы функций синуса и косинуса. Это неслучайно. Все явления во Вселенной, проявляющие подобное свойство устойчивости, изменяются как сумма синуса и косинуса, если лишь чуть-чуть отклоняются от равновесия и размах их колебаний мал. Поэтому нет ничего странного в том, что синус и косинус так полезны: эти функции одновременно и просто, и полно описывают устойчивость мира.