ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАКОВ

Биологи считают себя биохимиками, биохимики считают себя физхимиками, физхимики считают себя физиками, физики считают себя богами, а Бог считает себя математиком.

Неизвестный автор

Знаки и символы позволяют нам думать, не задумываясь. А чем больше вещей мы можем делать хорошо и при этом не задумываться, тем лучше. Высшие функции человеческого мозга достаточно развиты, чтобы многие действия выполнялись бессознательно, на автопилоте. Так получается гораздо лучше – подумайте о том, куда вы ставите свои ноги, танцуя, и вы тут же упадете. Математика – самый элегантный пример такой рационализации разума: усваивая емкие символы, мы можем сэкономить много слов и придать процессу доказательства однозначную точность. Это язык со встроенной логикой.

Самые универсальные математические операции – это сложение, вычитание, умножение и деление. На них стоит мир. Эти общие операции интересовали математиков во многих древних культурах, возникло великое множество правил и символов, указывающих читателю, как сочетать числа между собой. Их стандартизация в одну универсальную систему обозначений утвердилась в Европе в XV веке, и ее распространение ускорилось после того, как в 1456 году Иоганн Гутенберг изобрел книгопечатание с подвижными литерами.

Первое появление арифметических знаков + и – вместе в печатной книге зафиксировано в немецком трактате «Быстрый и приятный счет для всех торговцев», посвященном прикладной арифметике, который был написан Иоганном Видманом и опубликован в 1489 году, а знак минуса впервые появился чуть раньше – в рукописи по алгебре, написанной в 1481 и опубликованной в 1486 году.

Вид самого знака плюс, по-видимому, происходит от множества слегка отличающихся способов записи латинского слова et («и»). Происхождение знака минус не столь ясно.

По одной из гипотез, он появился благодаря записи, используемой торговцами, чтобы различить общую массу партии товара и массу товара без упаковки. Сама упаковка называлась «тара», или «минус». Однако эти два символа стали широко использоваться в арифметике и алгебре не раньше второй половины XVI века. В Италии символы р и т как сокращения слов «плюс» и «минус» все еще использовались в XVI веке, и они же применялись наряду с символами + и – в Испании и Франции. В ходу было несколько вариантов знака плюс – греческий крест ( + ), которым мы пользуемся сейчас, а также латинский и мальтийский кресты в различных модификациях. Эта косвенная ссылка на религиозную символику заставляет вспомнить шутку великого математика XX века Поля Эрдёша. Когда его спросили, понравилась ли ему экскурсия по католическому колледжу в Соединенных Штатах, он ответил: «Там было слишком много знаков плюс».

Некоторые из ранних вариантов обозначения вычитания выглядят для нас несколько запутанными, поскольку вычитание обозначалось не только знаком минус (-), но иногда и знаком -5-, которым мы сейчас обозначаем деление, или просто парой дефисов – -, или рядом точек, так что в некоторых математических трудах Декарта наш пример 7 – 1 = 6 записывался как 7-1 = 6.

Рекорд, изучавший математику и медицину и в Оксфорде, и в Кембридже, вероятно, первым из английских ученых поддержал гелиоцентрическую космологию Коперника, и его лекции по математике, астрономии и медицине пользовались заслуженным восхищением студентов. Позже он стал управляющим монетного двора в Бристоле (где отказался финансировать войска короля, за что был обвинен в измене и два месяца провел в тюрьме), а потом лейб-медиком Эдуарда VI. Давний враг Рекорда Вильям Герберт, граф Пемброкский, добился его ареста за долг в значительную сумму в 1000 фунтов стерлингов, которые тот то ли не мог, то ли не хотел выплачивать, и карьера ученого закончилась в долговой тюрьме, где он и умер в 1558 году. Его «Оселок для ума» известен также введением в математику знака равенства (=). Он использовал несколько более длинные горизонтальные черточки, чем мы используем сейчас, что-то вроде =, объясняя это так: «Дабы избегнуть скучного повторения слов «суть равны», я постановлю [знак], каковой я часто использую на словах, пару параллельных линий, оные же близнецы одной длины, сим образом =, ибо никакие две вещи более равны быть не могут».

К сожалению, это обозначение, которое Рекорд с таким энтузиазмом использовал, пережившей множество переизданий, не было распространено повсеместно. Оно не появлялось в печати вплоть до 1618 года, хотя известно, что некоторые математики использовали его, судя по их личным записям. Другие ставили две вертикальные линии, 11, возможно, в качестве сокращения первой и последней букв «йота» греческого слова, означающего равенство: а а а а. До XVIII века равенство также обозначали греческой буквой альфа (а), которая позднее стала применяться для обозначения пропорциональности. В континентальной Европе встречались такие символы равенства, как U, П =3 и аз. Последний из этих знаков, вероятно, представляет сокращение искаженного латинского слова aequalis – «равенство».

В конце XVI – начале XVII века вы бы рисковали всерьез запутаться, поскольку отдельные математики континентальной Европы использовали знак = для обозначения других вещей. Некоторые применяли его в качестве знака минуса, тогда как другие, например Декарт, с его помощью обозначали «плюс или минус»43, что мы сейчас записываем как ±. До 1670 года кое-кто даже использовал его в качестве десятичной запятой, то есть 134 = 67 в печати того времени означало бы нашу десятичную дробь 134,67. Наконец, геометры хотели использовать «=» для обозначения параллельных линий. Таким образом, к 1700 году данный знак употреблялся пятью совершенно различными способами в ситуациях, которые легко могли встретиться в одном математическом выражении. При подобных обстоятельствах удивительно, что он вообще сохранился, ведь возможно было заменить этот знак новым символом, чтобы избежать неоднозначностей. В конце концов знак «=», предложенный Рекордом, прочно установился в Англии в XVI веке, но только в 1660 году, более чем через столетие после первой его публикации в английском тексте, он стал общепризнанным символом равенства в остальной Европе.

Умножение было хорошо известно египетским, вавилонским и индийским математикам, хотя оно часто рассматривалось как форма многократного сложения. Его обозначали, размещая числа рядом, или же, как в Индии, ставили между перемножаемыми числами точку. В Германии в 1545 году Михаэль Штифель впервые использовал в качестве знаков умножения и деления заглавные (готические) буквы М и D, таким образом, алгебраическая формула 6у записывалась бы как 6 My, а дробь 1/2 могла бы быть записана как 1 D 2. Некоторые авторы XV века осмотрительно отмечали непоследовательность этой записи, а именно 5у означало 5, умноженное на у, но 2У2 читалось как 2 плюс У2, а не 2 раза по У2, что предполагалось бы индийской записью.

Первое появление нашего современного знака умножения в виде андреевского креста (х) зафиксировано в трактате Уильяма Отреда «Ключ к математике» (1631), хотя еще раньше, в 1618 году, в специальном приложении к книге изобретателя логарифмов Джона Непера «Описание», которое, вероятно, было добавлено Отредом, умножение обозначалось буквой X. Отред писал свой знак умножения несколько иначе, чем мы. Он был примерно вдвое меньше знаков + и – и поднимался над строкой, вот так: 2х 2 = 4. Конкурентами этого символа умножения в XVII веке были «звездочка» (*) и прямоугольник (□), которые до сих пор используются в математике для обозначения операции комплексного сопряжения и завершения доказательства.

Прослеживая историю развития знака деления, мы обнаруживаем первое появление современного обозначения (-ь) в 1659 году в книге по алгебре швейцарского математика Иоганна Генриха Ранна. Как вы помните, многие авторы ранее использовали этот знак для обозначения вычитания. Перевод работы Ранна на английский с дополнениями Джона Пелла впервые появился в 1668 году. Это было большой удачей для Ранна, поскольку, хотя его сограждане перенимали его новый символ без особого энтузиазма, английские математики с ними не согласились, и такие выдающиеся математики Оксфорда и Кембриджа, как Исаак Барроу и Джон Уоллис, стали его использовать. Увы, среди английских математиков знак «-н» стал называться символом Пелла, и это только потому, что Пелл перевел и дополнил книгу Ранна, его настоящего автора. Он стал повсеместно использоваться в математических работах на английском, но оставался неизвестен в континентальной Европе. Мы обнаруживаем, что в XVII веке в Германии такие влиятельные математики, как Лейбниц, для обозначения деления иногда использовали букву С, лежащую на боку, распространены были также такие символы деления, как двоеточие (:), точка, поднятая над строкой, прямая и обратная косые черты. Прямая наклонная черта используется до сих пор, как и двоеточие, и обозначение дроби а : b равнозначно обозначениям a/bma -f- b. Двоеточие в этом контексте было предложено английским астрономом Винсентом Вингом в 1651 году, но в первой половине XVIII века потребовалось время, чтобы оно стало преобладать над точкой, символом, который для обозначения деления предложил Отред.

Современные символы сложения, вычитания, умножения, деления и равенства стандартны во всех странах мира. Они более универсальны, чем буквы любого письменного языка. Хотя их изображения просты и не поражают красотой, они надежно запечатлелись в нашем представлении о природе вещей. Они идеально подошли для обозначения основных явлений реальности, и мы рефлекторно распознаем их в любом тексте.