МОСТЫ НАД МУТНОЙ ВОДОЙ. ЦЕПИ И ПРОЛЕТЫ

Одно из величайших инженерных достижений человечества – это создание огромных мостов, перекинутых через реки и ущелья, которые иначе были бы непреодолимыми преградами. Эти колоссальные архитектурные проекты часто обладают эстетической привлекательностью, которая ставит их в первые ряды современных чудес света. Элегантный мост Золотые Ворота, Клифтонский подвесной мост, построенный под руководством Брюнеля, мост Эрсилиу Лус в Бразилии – все они имеют впечатляющие очертания, которые выглядят гармонично и схоже. Но чем же на самом деле они являются?

Математический вывод формулы цепной линии, предложенный Лейбницем (кривая, которую Лейбниц назвал логарифмической, называется сейчас экспонентой). Цепная линия проходит из точки F через точку А в точку!

Существуют две интересные фигуры, возникающие при подвешивании грузов или цепей. Эти фигуры часто путают либо считают, что это одно и то же. Одной из древнейших задач было математическое описание контура, который принимает цепь или веревка, концы которой закреплены в двух точках, расположенных на одинаковом горизонтальном уровне. Вы сами можете легко создать такой контур, взяв кусок бечевки за два кончика и расположив руки на одном уровне. Первым человеком, который объявил, что знает, каким должен быть этот контур, был Галилео Галилей, утверждавший, что цепь, висящая таким образом, под действием силы тяжести должна принимать форму параболы. Но в 1669 году Иоахим Юнг, немецкий математик, особенно интересовавшийся применимостью математики к решению физических проблем, доказал неправоту Галилея. К сожалению, сам он не смог найти ответа на этот вопрос.

Действительно, ответ оказался непростым и равенство, описывающее висящую цепь, в итоге независимо вывели Готфрид Лейбниц, Христиан Гюйгенс, Дэвид Грегори и Иоганн Бернулли в 1691 году, после того как годом ранее Бернулли сформулировал эту проблему и поставил перед европейскими математиками задачу ее решения.

Первоначально эта кривая получила название «катенария», данный термин употребил Гюйгенс в своем письме Лейбницу (метод Лейбница по вычислению цепной линии показан на иллюстрации). Интересно, что в английский язык слово catenary ввел будущий американский президент Томас Джефферсон в письме Томасу Пейну от 15 сентября 1788 года. Джефферсон обсуждал в переписке с Пейном проблему конструкции мостовой арки. Иногда эту фигуру также называли chainette (фр. «цепочка») или «веревочная кривая».

Форма цепной линии отражает тот факт, что напряжение цепи компенсирует лишь часть ее веса, и общий вес, приходящийся на каждую точку, пропорционален длине фрагмента цепи между этой точкой и самой нижней точкой цепи.

Уравнение, описывающее цепь, находящуюся в равновесии, представляет собой результат этого соревнования между весом и натяжением и имеет вид: у = Bcosh(x/B) = V2B(ex/B + е-х/В), где В – это постоянное напряжение цепи, разделенное на ее вес, приходящийся на единицу длины. Если взять за два кончика кусок бечевки и приблизить кончики друг к другу либо отдалить их, то контур цепной кривой по-прежнему будет описываться этой формулой, но с иным значением в каждом отдельном случае. Формулу такой кривой также можно вывести исходя из условия, что центр тяжести подвешенной цепи занимает самое низкое возможное положение. Следовательно, эта конфигурация наиболее стабильна и экономна, если говорить о затратах на преодоление сил гравитации.

Цепные кривые широко используются в архитектуре, причем зачастую имеют обратную, арочную форму. Великий английский ученый и архитектор Роберт Гук, живший в XVII веке, сделал это важное открытие в 1671 году: «Тело, висящее, как гибкая цепь, в перевернутом состоянии имеет форму арки».

Один из самых замечательных образцов такой фигуры, созданных человеком, находится в городе Сент-Луис, штат Миссури. Это арка «Врата Запада», ставшая символом города и представляющая собой перевернутую цепную кривую. Это оптимальная форма для свода, который поддерживает сам себя: в ней сводится к минимуму касательное напряжение, так как оно всегда направлено вдоль линии арки по направлению к земле. Математическая формула, задающая форму арки, написана на ее внутренней поверхности. Цепные арочные своды часто применяются архитекторами для оптимизации прочности и устойчивости сооружений. Еще один замечательный пример такой конструкции – вздымающиеся ввысь арки знаменитого незаконченного собора Саграда Фамилия, который строил в Барселоне Антонио Гауди.

Однако существует огромная разница между висящей цепью и подвесным мостом, таким, как Золотые Ворота или Клифтонский мост. Подвесные мосты должны поддерживать не только вес собственных тросов или цепей. Огромная часть веса, который ложится на конструкцию моста, – это его проезжая часть. Если эта часть расположена горизонтально и по всей длине имеет постоянную плотность и одинаковую площадь поперечного сечения, то формула для поддерживающего троса, как теперь известно, описывает параболу: у = х2 / 2В, где В (как и в равенстве для висящей цепи) – это константа, равная напряжению, разделенному на вес, приходящийся на единицу длины проезжей части моста.

Наиболее замечательный подвесной мост Великобритании – это Клифтонский мост в Бристоле. Он был спроектирован Изамбар-дом Кингдомом Брюнелем в 1829 году, но строительство завершилось только в 1865 году, через три года после смерти архитектора. Красивая параболическая форма моста остается достойным памятником величайшему инженеру со времен Архимеда.